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§1.1 集合#

集合的基本概念#

集合：数学中的基本概念，直观理解为”一些东西的总体”
元素：集合中的个体
属于：若 $x$ 是集合 $E$ 的元素，记作 $x \in E$ 或 $E \ni x$
不属于：若 $x$ 不是集合 $E$ 的元素，记作 $x \notin E$

集合的相等#

定义 1.1.1：两个集合 $A$ 和 $B$ 相等（记作 $A = B$ ），当且仅当它们的元素完全相同：

(A = B) \Longleftrightarrow (x \in A \Longleftrightarrow x \in B)

逻辑符号说明#

符号	含义	说明
$\Longleftrightarrow$	当且仅当	两个命题等价
$\Longrightarrow$	蕴含	前一个命题成立 ⇒ 后一个命题成立
$\Longleftarrow$	反向蕴含	后一个命题成立 ⇒ 前一个命题成立

集合的表示方法#

列举法#

将所有元素列在花括号中，如： $\{1, 2, 3\}$

描述法#

用条件描述元素： $\{x \in E : P(x)\}$ ，表示 $E$ 中满足性质 $P$ 的所有元素

子集与真子集#

定义 1.1.2：集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集（记作 $A \subset B$ ），当且仅当：

(A \subset B) \Longleftrightarrow (x \in A \Longrightarrow x \in B)

也可写作 $B \supseteq A$ 。

真子集：若 $A \subset B$ 且 $A \neq B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集

区间与空集#

有限区间#

开区间： $(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$
闭区间： $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$
半开区间：
- $[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$
- $(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

无限区间#

$(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$
$(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$[a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$

空集#

空集：不含任何元素的集合，记作 $\emptyset$
意义：类比数字0，引入空集便于数学表达与运算

1.1 集合

https://miku.nikonikoni.blog/posts/analysis/1-1-set/

Author

nikonikoni

Published at

2025-11-24

License

Unlicensed

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2.4 上下极限与柯西收敛准则

1.2 集合运算及几个逻辑符号

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