并集 (Union)#

定义 1.2.1：设 $A, B$ 是两个集合，$A, B$ 之并定义为：

推广：设 $\{E_\alpha : \alpha \in I\}$ 是集合族，则：

交集 (Intersection)#

定义 1.2.3：设 $\{E_\alpha : \alpha \in I\}$ 是集合族，则：

差集 (Difference)#

定义 1.2.4：两个集合之差定义为：

余集 (Complement)#

定义 1.2.5：设 $X$ 为空间，$A \subset X$，则 $A$ 的余集定义为：

性质：

结合律#

交换律#

分配律#

证明：这里给出了第二个等式的证明：

第一部分：$A \cup \left( \bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha \right) \subset \bigcap_{\alpha \in I} (A \cup B_\alpha)$

因 $\forall \beta \in I ((A \subset A \cup B_\beta) \land (\bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha \subset A \cup B_\beta))$，故

这就证明了

第二部分：$\bigcap_{\alpha \in I} (A \cup B_\alpha) \subset A \cup \left( \bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha \right)$

设 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} (A \cup B_\alpha)$，则 $(x \in A)$ 或 $\forall \alpha \in I (x \in B_\alpha)$，所以

第一个分配律的证明同上。

定理 1.2.1 (de Morgan对偶原理)#

设 $\{E_\alpha : \alpha \in I\}$ 是一族集合，则：

证明：

第一个等式：

包含关系 1：$\left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right)^C \subseteq \bigcap_{\alpha \in I} E_\alpha^C$

若 $x \in \left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right)^C$，则 $x \notin \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha$。 因此，$\forall \alpha \in I(x \notin E_\alpha)$。 换言之，$\forall \alpha \in I(x \in E_\alpha^C)$，即 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} E_\alpha^C$。

包含关系 2：$\bigcap_{\alpha \in I} E_\alpha^C \subseteq \left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right)^C$

若 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} E_\alpha^C$，即 $\forall \alpha \in I(x \in E_\alpha^C)$。 换言之，$\forall \alpha \in I(x \notin E_\alpha)$。 因而，$x \notin \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha$，故 $x \in \left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right)^C$。

第二个等式：

作为第一个等式的推论：