定义#

从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射 $\varphi$ 是指一个规则，使得每个 $x \in A$ 都有唯一的 $y \in B$ 与之对应。

表示方法#

• $y = \varphi(x)$
• $\varphi : A \rightarrow B, \quad \varphi : x \mapsto y$

术语#

• 定义域：$A$
• 目标域：$B$
• 自变量：$x \in A$
• 因变量：$y \in B$
• 函数：当目标域是 $\mathbb{C}$ 时的特殊称谓
• 变换：在代数或几何中的称谓

像 (Image)#

设 $C \subset A$，则 $C$ 在映射 $\varphi$ 下的像定义为：

• $\varphi(A)$ 称为映射 $\varphi$ 的值域

原像 (Inverse Image)#

设 $D \subset B$，则 $D$ 关于映射 $\varphi$ 的原像定义为：

注意：$\varphi^{-1}$ 一般不代表一个映射

单调性#

命题 1.3.1#

1. 并的像：

   $$\varphi \left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right) = \bigcup_{\alpha \in I} \varphi(E_\alpha)$$

   证明：

   • $y \in \varphi \left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right)$ $\Longleftrightarrow \exists \alpha \in I (\exists x \in E_\alpha (y = \varphi(x)))$ $\Longleftrightarrow \exists \alpha \in I (y \in \varphi(E_\alpha))$ $\Longleftrightarrow y \in \bigcup_{\alpha \in I} \varphi(E_\alpha)$

2. 交的像：

   $$\varphi \left( \bigcap_{\alpha \in I} E_\alpha \right) \subset \bigcap_{\alpha \in I} \varphi(E_\alpha)$$

   注意：这是包含关系，一般不相等

3. 并的原像：

   $$\varphi^{-1} \left( \bigcup_{\alpha \in I} E_\alpha \right) = \bigcup_{\alpha \in I} \varphi^{-1}(E_\alpha)$$

4. 交的原像：

   $$\varphi^{-1} \left( \bigcap_{\alpha \in I} E_\alpha \right) = \bigcap_{\alpha \in I} \varphi^{-1}(E_\alpha)$$

限制映射#

设 $\varphi : A \rightarrow B$，$C \subset A$，则 $\varphi$ 在 $C$ 上的限制定义为：

恒等映射#

设 $E$ 是非空集合，$E$ 上的恒等映射定义为：