定义#

设 $\varphi : E \rightarrow F$ 和 $\psi : H \rightarrow G$ 是两个映射，且满足 $F \subset H$，则复合映射 $\psi \circ \varphi$ 定义为：

运算律#

• 结合律：$\vartheta \circ (\psi \circ \varphi) = (\vartheta \circ \psi) \circ \varphi$
• 无交换律：一般情况下 $\psi \circ \varphi \neq \varphi \circ \psi$

单射 (Injection)#

定义：$f:A \rightarrow B$ 是单射，如果：

满射 (Surjection)#

定义：$f:A \rightarrow B$ 是满射，如果：

双射 (Bijection)#

定义：$f:A \rightarrow B$ 是双射，如果 $f$ 既是单射又是满射。

定义#

仅对双射 $f:A \rightarrow B$ 定义逆映射 $f':B \rightarrow A$：

基本性质#

命题1：若 $f(x) = y$，则 $x = f'(y)$

证明：由逆映射定义直接可得 $f'(f(x)) = x$，因此 $f'(y) = x$。

命题2：$f(f'(y)) = y, \quad \forall y \in B$

证明：由定义 $f'(f(x)) = x$，$x \in A$。设 $f'(y) = x$，由 $y = f(x)$ 得 $f(f'(y)) = f(x) = y$。

命题3：$f$ 可逆 $\implies$ $f'$ 可逆，且 $(f')' = f$

证明：

• 单射性：设 $y_1, y_2 \in B$，$f'(y_1) = f'(y_2)$，则： $y_1 = f(f'(y_1)) = f(f'(y_2)) = y_2$
• 满射性：设 $x \in A$，则 $x = f'(f(x))$
• 逆映射相等：设 $x \in A$，记 $y = f(x)$，则 $x = f'(y)$，所以 $f'(y) = f(x)$，即 $(f')' = f$

命题4：$f \circ f^{-1} = I_B, \quad f^{-1} \circ f = I_A$

证明：

• 设 $y \in B$，$f(f^{-1}(y)) = y = I_B(y)$
• 设 $x \in A$，$f^{-1}(f(x)) = x = I_A(x)$

逆映射的等价刻画#

命题5：$f:A \rightarrow B$ 可逆 $\iff$ 存在 $g:B \rightarrow A$ 使得：

此时 $g = f^{-1}$

证明： （$\Rightarrow$）若 $f$ 可逆，取 $g = f^{-1}$ 即满足条件。

（$\Leftarrow$）假设存在 $g$ 满足条件：

• 单射性：设 $x_1, x_2 \in A$，$f(x_1) = f(x_2)$，则： $x_1 = I_A(x_1) = g(f(x_1)) = g(f(x_2)) = I_A(x_2) = x_2$
• 满射性：$\forall y \in B$，$f(g(y)) = I_B(y) = y$，即 $x = g(y)$ 满足 $f(x) = y$
• 唯一性：$\forall y \in B$，$f(g(y)) = I_B(y) = y$，所以 $g(y) = f^{-1}(y)$

复合映射的逆#

命题6：若 $f:A \rightarrow B$ 和 $g:B \rightarrow C$ 都可逆，则：

证明： $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ I_B \circ f = I_A$ $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ I_B \circ g^{-1} = I_C$

定义#

• 像集：$f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}, \quad A \subset X$
• 原像集：$f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}, \quad B \subset Y$

单调性#

命题7：

• 若 $A_1 \subset A_2 \subset X$，则 $f(A_1) \subset f(A_2)$
• 若 $B_1 \subset B_2 \subset Y$，则 $f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2)$

证明：

• 若 $y \in f(A_1)$，则 $\exists x \in A_1$ 使 $y = f(x)$，由于 $A_1 \subset A_2$，所以 $x \in A_2$，故 $y \in f(A_2)$
• 若 $x \in f^{-1}(B_1)$，则 $f(x) \in B_1 \subset B_2$，所以 $x \in f^{-1}(B_2)$

幂集#

定义：$2^X = \{A : A \subset X\}$ 称为 $X$ 的幂集

单调映射与不动点#

定义：$F:2^X \rightarrow 2^X$ 是单调增的，如果：

定义：$A \subset X$ 是 $F$ 的不动点，如果 $F(A) = A$

命题8：若 $F:2^X \rightarrow 2^X$ 单调增，则 $F$ 有不动点

证明： 记 $\Omega = \{S \subset X : S \subset F(S)\}$，由于 $\emptyset \in \Omega$，故 $\Omega \neq \emptyset$。

令 $A = \bigcup_{S \in \Omega} S$，下证 $F(A) = A$：

1. 设 $s \in \Omega$，则 $s \in F(s) \subset F(A)$，所以 $A \subset F(A)$
2. 由 $A \subset F(A)$ 得 $F(A) \subset F(F(A))$，所以 $F(A) \subset \Omega$
3. 由 $F(A) \subset \Omega$ 得 $F(A) \subset A$

综上，$F(A) = A$。

Galileo 变换#

• 公式：$\xi = x - vt, \quad \tau = t$
• 性质：双射，$(G_v)^{-1} = G_{-v}$，$G_u \circ G_v = G_{u+v}$

Lorentz 变换#

• 公式：$\xi = \frac{x - vt}{\sqrt{1-(v/c)^2}}, \quad \tau = \frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$
• 性质：双射，$L_v^{-1} = L_{-v}$，$L_u \circ L_v = L_w$（$w = \frac{u + v}{1+(uv)/c^2}$）