定理 1.8.1 (Schroeder-Bernstein 定理)#

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个基数，若 $\alpha \leq \beta$ 且 $\alpha \geq \beta$，则 $\alpha = \beta$

等价表述：若 $A_0$ 与 $B_0$ 的某个子集有双射，且 $B_0$ 与 $A_0$ 的某个子集有双射，则 $A_0$ 与 $B_0$ 有双射。

证明：

设 $A_1 \subset A_0$，$B_1 \subset B_0$，且存在双射： $\varphi : A_0 \rightarrow B_1, \quad \psi : B_0 \rightarrow A_1$

定义序列： $B_{n+1} = \varphi(A_n), \quad A_{n+1} = \psi(B_n)$

得到递减序列： $A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset \cdots, \quad B_0 \supset B_1 \supset B_2 \supset \cdots$

双射关系： $\varphi|_{A_n \setminus A_{n+1}} : A_n \setminus A_{n+1} \rightarrow B_{n+1} \setminus B_{n+2}$ $\psi|_{B_n \setminus B_{n+1}} : B_n \setminus B_{n+1} \rightarrow A_{n+1} \setminus A_{n+2}$

分解： $A_0 = \left( \bigcup_{n=0}^{\infty} (A_{2n} \setminus A_{2n+1}) \right) \cup \left( \bigcup_{n=0}^{\infty} (A_{2n+1} \setminus A_{2n+2}) \right) \cup \left( \bigcap_{n=0}^{\infty} A_n \right)$ $B_0 = \left( \bigcup_{n=0}^{\infty} (B_{2n} \setminus B_{2n+1}) \right) \cup \left( \bigcup_{n=0}^{\infty} (B_{2n+1} \setminus B_{2n+2}) \right) \cup \left( \bigcap_{n=0}^{\infty} B_n \right)$

构造双射 $\vartheta : A_0 \rightarrow B_0$：