二维欧式空间#

三维欧式空间#

n维欧式空间#

定义1：设 $x: \{1, 2, \ldots, n\} \to \mathbb{R}$，记

称 $(x_1, \ldots, x_n)$ 为 n元有序数组

定义2：

$\mathbb{R}^n$ 为 n维欧式空间

术语：

• $x \in \mathbb{R}^n$ 称为点或向量
• $x_i$ 称为点 $x$ 的第 $i$ 个坐标，或向量 $x$ 的第 $i$ 个分量
• $0 = (0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^n$ 称为零向量

单位向量#

第 $i$ 个单位向量：

向量运算#

定义3：设 $x = (x_1, \ldots, x_n), y = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}$

• 数乘：$kx = (kx_1, \ldots, kx_n)$
• 加法：$x + y = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)$

命题1：设 $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$，则

命题2：$x \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}$，若 $kx = 0$，则 $k = 0$ 或 $x = 0$

线性相关与平行#

• $x, y \in \mathbb{R}^n$，$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，$\alpha x + \beta y$ 称为 $x, y$ 的线性组合
• $x, y \in \mathbb{R}^n$，若存在不全为零的 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，使得 $\alpha x + \beta y = 0$，则称 $x, y$ 平行，记作 $x \parallel y$

同向#

$x, y \in \mathbb{R}^n, x, y \neq 0$，若存在 $k > 0$ 使得 $y = kx$，则称 $x, y$ 同向

平行判定#

命题3：$x, y \in \mathbb{R}^n$，下列叙述等价：

1. $x \parallel y$
2. 存在 $k \in \mathbb{R}$，使得 $x = ky$ 或 $y = kx$
3. $x_i y_j = x_j y_i, \quad i, j = 1, 2, \ldots, n$

命题4：$x, y, z \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$，则：

1. $x \parallel y$ 当且仅当存在 $k \in \mathbb{R}$，使得 $y = kx$
2. 若 $x \parallel y$ 且 $y \parallel z$，则 $x \parallel z$

定义#

设 $x, y \in \mathbb{R}^n$，定义：

称 $x \cdot y$ 为 $x, y$ 的内积或点积

性质#

命题5：$x, y, z \in \mathbb{R}^n, a, b \in \mathbb{R}$，下列结论成立：

1. 非负性：$\langle x, x \rangle \geq 0$，等号成立当且仅当 $x = 0$
2. 对称性：$\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
3. 线性性：$\langle ax + by, z \rangle = a\langle x, z \rangle + b\langle y, z \rangle$

定义#

$x \in \mathbb{R}^n$，定义：

称 $|x|$ 为 $x$ 的长度或模

若 $|x| = 1$，称 $x$ 为单位向量

性质#

命题6：$x, y \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}$，则：

1. 非负性：$|x| \geq 0$，等号成立当且仅当 $x = 0$
2. 齐次性：$|kx| = |k||x|$
3. 三角不等式：$|x + y| \leq |x| + |y|$

夹角定义#

$x, y \in \mathbb{R}^n, x, y \neq 0$，由 Cauchy 不等式：

存在唯一 $\theta \in [0, \pi]$，使得：

称 $\theta$ 为 $x, y$ 的夹角

正交性#

若 $x \cdot y = 0$，称 $x, y$ 垂直或正交，记作 $x \perp y$

若 $x, y \neq 0$，则：

单位化#

设 $x \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$，记：

则 $|x^0| = 1$，称 $x^0$ 为 $x$ 对应的单位向量

投影定义#

设 $a \in \mathbb{R}^n, a \neq 0$，$b \in \mathbb{R}^n$：

• $b \cdot a^0$ 称为 $b$ 在 $a$ 上的投影
• $(b \cdot a^0)a^0$ 称为 $b$ 在 $a$ 上的投影向量

正交分解#

$a, b \in \mathbb{R}^n, a \neq 0$，设：

则：

• $b_1 \perp b_2$
• $|b|^2 = |b_1|^2 + |b_2|^2$
• $b = b_1 + b_2$ 称为 $b$ 的正交分解

平行四边形面积#

$a \in \mathbb{R}^n, x, y \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$，且 $x, y$ 不平行，夹角为 $\theta$

设：

称 $P$ 为以 $a$ 为顶点，$x, y$ 为邻边的平行四边形

$P$ 的面积：

距离公式#

$x, y \in \mathbb{R}^n$，$|x - y|$ 称为 $x, y$ 的距离

命题8：$x, y, z \in \mathbb{R}^n$，下列结论成立：

1. 非负性：$|x - y| \geq 0$，等号成立当且仅当 $x = y$
2. 对称性：$|x - y| = |y - x|$
3. 三角不等式：$|x - z| \leq |x - y| + |y - z|$

p-范数定义#

设 $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$，$p \geq 1$，记：

称 $|x|_p$ 为 $x$ 的 p-范数

无穷范数：

Hölder 不等式#

设 $p > 1$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，$x, y \in \mathbb{R}^n$，则：

证明： 当 $|x|_p = 0$ 或 $|y|_q = 0$ 时，不等式显然成立。

设 $|x|_p > 0, |y|_q > 0$。考虑函数 $f(t) = t^p/p + s^q/q - ts$，其中 $t, s \geq 0$。

令 $u = |x_i|/|x|_p, v = |y_i|/|y|_q$，由 Young 不等式：

即：

对 $i = 1, \ldots, n$ 求和：

因此：

再由 $|\langle x, y \rangle| \leq \sum |x_i y_i|$，得证。

Minkowski 不等式（三角不等式）#

命题7：$p \geq 1$ 或 $p = \infty$，$x, y \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}$，则：

1. 非负性：$|x|_p \geq 0$，等号成立当且仅当 $x = 0$
2. 齐次性：$|kx|_p = |k||x|_p$
3. 三角不等式：$|x + y|_p \leq |x|_p + |y|_p$
4. 证明： 当 $p = 1$ 或 $p = \infty$ 时，不等式显然成立。

设 $p > 1$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。考虑：

将 $|x_i + y_i|^p$ 写成：

由三角不等式：

对 $i$ 求和：

应用 Hölder 不等式：

同理：

因此：

由于 $p - p/q = 1$，两边除以 $|x + y|_p^{p/q}$ 得：

证毕。