基本定义#

定义 1 实数列 $\{a_n\}$ 收敛于极限 $\alpha \in \mathbb{R}$，如果：

记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ 或 $a_n \to \alpha$。

等价表述#

• 任给 $\varepsilon > 0$，使得 $|a_n - \alpha| \geq \varepsilon$ 的项只有有限个
• 对于复数列，定义类似，要求实部和虚部分别收敛

发散情形#

定义 2

• $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$：$\forall M \in \mathbb{R} \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N (a_n > M)$
• $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$：$\forall M \in \mathbb{R} \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N (a_n < M)$

唯一性#

定理 1 收敛数列的极限唯一

有界性#

定理 2 收敛数列必有界

证明： 设 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N$ 使得：

令 $M = \max(|a_1|, \cdots, |a_{N-1}|, |\alpha| + 1)$，则 $\forall n \in \mathbb{N} (|a_n| \leq M)$。

保序性#

定理 3 若 $a_n \to \alpha$，$b_n \to \beta$，且 $a_n \leq b_n$，则 $\alpha \leq \beta$

证明： 假设 $\alpha > \beta$，取 $\varepsilon = (\alpha - \beta)/2 > 0$ 存在 $N$ 使得 $n \geq N$ 时：

则 $a_n > \alpha - \varepsilon = (\alpha + \beta)/2 = \beta + \varepsilon > b_n$，矛盾。

四则运算#

定理 4 设 $a_n \to \alpha$，$b_n \to \beta$，则：

(1) $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta$

证明： $\forall \varepsilon > 0$，存在 $N_1, N_2$ 使得：

取 $N = \max(N_1, N_2)$，则 $n \geq N$ 时：

(2) $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \alpha \cdot \beta$

证明： 由有界性，存在 $M$ 使得 $|a_n| \leq M$，$|b_n| \leq M$

$\forall \varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $n \geq N$ 时：

则 $|a_n b_n - \alpha \beta| < \varepsilon$

(3) 若 $\beta \neq 0$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}$

证明： 先证 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{\beta}$ 存在 $N_1$ 使得 $n \geq N_1$ 时 $|b_n| > |\beta|/2$

由乘积法则即得结论。

夹逼定理#

定理 5 设 $a_n \to \alpha$，$b_n \to \alpha$，且 $a_n \leq c_n \leq b_n$，则 $c_n \to \alpha$

证明： $\forall \varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $n \geq N$ 时：

子列定理#

定理 6 收敛数列的任意子列收敛于同一极限 证明： 设 $\{a_n\}$ 是收敛数列，$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$，$\{a_{n_k}\}$ 是 $\{a_n\}$ 的任意子列。

由 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ 得：

由于 $\{n_k\}$ 是严格递增的自然数列，对于上述 $N$，存在 $K \in \mathbb{N}$ 使得当 $k \geq K$ 时 $n_k \geq N$。

因此：

即 $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = \alpha$。

单调数列定义#

• 单调递增：$\forall n \in \mathbb{N} (a_n < a_{n+1})$
• 单调不减：$\forall n \in \mathbb{N} (a_n \leq a_{n+1})$
• 单调递减：$\forall n \in \mathbb{N} (a_n > a_{n+1})$
• 单调不增：$\forall n \in \mathbb{N} (a_n \geq a_{n+1})$

收敛定理#

定理 7

• 单调不减且有上界的数列收敛于其上确界
• 单调不增且有下界的数列收敛于其下确界
• 单调不减且无上界的数列发散到 $+\infty$
• 单调不增且无下界的数列发散到 $-\infty$

证明（单调不减有上界情形）： 设 $\alpha = \sup a_n$，则：

由单调性，$n \geq n_0 \implies a_n \geq a_{n_0} > \alpha - \varepsilon$ 又 $a_n \leq \alpha$，故 $|a_n - \alpha| < \varepsilon$

定义#

定义 3 极限为零的序列称为无穷小序列

性质#

• 无穷小序列的和、差、积仍为无穷小
• 有界序列与无穷小序列的乘积为无穷小