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2.3 区间套法#

区间套定理#

定理 1（区间套定理）
设闭区间列

I_n = [a_n, b_n] \quad (n = 1, 2, \dots)

满足以下两个条件：

包含性：每个区间 $I_n$ 都包含在前一个区间 $I_{n-1}$ 中，即
$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$
长度趋于零：当 $n \to \infty$ 时，区间长度
$b_n - a_n \to 0$

则存在唯一的实数 $\alpha$ ，使得

\alpha \in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n

由包含性条件可得：

a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1

因此：

由单调有界收敛定理，存在极限：

\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \beta

对任意 $m, n$ ，有 $a_n < b_m$ ，令 $n \to \infty$ 得 $\alpha \leq b_m$ ，再令 $m \to \infty$ 得 $\alpha \leq \beta$ 。

又由区间长度趋于零，对任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N$ ，使得

b_N - a_N < \varepsilon

由于

a_N \leq \alpha \leq \beta \leq b_N

可得

0 \leq \beta - \alpha < \varepsilon

由 $\varepsilon$ 的任意性，得 $\alpha = \beta$ 。

因此，对任意 $n$ ，有

a_n \leq \alpha \leq b_n

即 $\alpha \in I_n$ 对所有 $n$ 成立。

设还存在另一个公共点 $\alpha' \neq \alpha$ ，不妨设 $\alpha' > \alpha$ ，则对充分大的 $n$ ，有

b_n - a_n < \alpha' - \alpha

但 $\alpha, \alpha' \in I_n$ ，矛盾。故唯一性得证。

实数连续性的四个基本定理：

已知：

\text{(I) 戴德金定理} \Rightarrow \text{(II) 确界定理} \Rightarrow \text{(III) 单调有界定理} \Rightarrow \text{(IV) 区间套定理}

下面说明 从区间套定理推出戴德金定理 的过程：

目标：给定实数的一个分割 $(A, B)$ ，证明要么 $A$ 有最大数，要么 $B$ 有最小数。

证明步骤：

从 $A$ 中取 $a$ ，从 $B$ 中取 $b$ ，构造初始区间 $I_0 = [a, b]$ 。
取中点 $m = \frac{a+b}{2}$ $m = \frac{a + b}{2}$ ，根据分割定义， $m$ $m$ 属于 $A$ $A$ 或 $B$ $B$ ：
- 若 $m \in A$ ，则取 $I_1 = [m, b]$
- 若 $m \in B$ ，则取 $I_1 = [a, m]$ 确保 $I_1$ 左端点在 $A$ 中，右端点在 $B$ 中。
重复上述二分过程，得到区间列： $I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \cdots$ 满足： $I_n = [a_n, b_n], \quad b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$
由区间套定理，存在唯一的 $s \in \bigcap I_n$ 。
证明 $s$ $s$ 是分割的界：
- 若 $s \in A$ ，则 $s$ 是 $A$ 的最大数；
- 若 $s \in B$ ，则 $s$ 是 $B$ 的最小数。