基本构成#

• 样本空间 $\Omega$：试验的所有可能结果集合
• 事件：样本空间的子集
• 概率律 $P(A)$：为事件 $A$ 分配一个数，满足：

概率公理#

1. 非负性：$P(A) \geq 0$
2. 可加性：
   • 若 $A \cap B = \emptyset$，则 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
   • 对互不相容序列：$P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$
3. 归一化：$P(\Omega) = 1$

概率律性质#

• 若 $A \subset B$，则 $P(A) \leq P(B)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$
• $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(A^c \cap B) + P(A^c \cap B^c \cap C)$
• 一般形式：$P(\bigcup_{i=1}^n A_i) \leq \sum_{i=1}^n P(A_i)$

离散概率模型#

• 离散概率律： $P(A) = \sum_{s_i \in A} P(s_i)$
• 离散均匀概率律（古典概型）： $P(A) = \frac{\text{事件}A\text{中结果数}}{n}$

连续概率模型#

• 样本空间为连续集合
• 概率律通过度量（长度、面积）定义