两个事件的独立性#

• 定义：$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
• 等价形式（$P(B) > 0$）：$P(A \mid B) = P(A)$
• 性质：若 $A$ 和 $B$ 独立，则 $A$ 和 $B^c$ 也独立

条件独立性#

• 定义：$P(A \cap B \mid C) = P(A \mid C)P(B \mid C)$
• 等价形式（$P(B \cap C) > 0$）：$P(A \mid B \cap C) = P(A \mid C)$
• 独立性与条件独立性互不蕴含

一组事件的独立性#

事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 相互独立当且仅当： $P(\bigcap_{i \in S} A_i) = \prod_{i \in S} P(A_i) \quad \text{对任意子集 } S \subseteq \{1,2,\dots,n\}$

注：

• 两两独立不蕴含相互独立
• 相互独立要求所有子集满足乘积关系

可靠性应用#

• 串联系统：$P(\text{有效}) = \prod_{i=1}^m p_i$
• 并联系统：$P(\text{有效}) = 1 - \prod_{i=1}^m (1 - p_i)$

独立试验与二项概率#

• 独立伯努利试验：每次试验成功概率 $p$，失败概率 $1-p$
• 二项概率： $p(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• 二项公式： $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$