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Welcome to my blog! I will share my study notes and technical articles here.
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2 minutes
2.2 分布列
2025-11-26
Probability Theory
math
/
probability theory
/
notes

2.2 分布列#

分布列的定义#

  • 分布列：pX(x)=P(X=x)p_X(x) = P(X = x)
  • 表示随机变量XX取值为xx的概率
  • 省去花括号的简写：P(X=x)P(X = x)代替P({X=x})P(\{X = x\})

分布列的性质#

  • 非负性：pX(x)≥0p_X(x) \geq 0 对所有xx
  • 归一性：∑xpX(x)=1\sum\limits_{x} p_X(x) = 1

分布列的计算方法#

  1. 找出与事件{X=x}\{X = x\}相对应的所有试验结果
  2. 将相应的试验结果的概率相加得到pX(x)p_X(x)

常见离散分布#

伯努利随机变量#

  • 描述：单次伯努利试验（成功/失败）
  • 分布列： p, & k = 1 \\ 1-p, & k = 0 \end{cases}$$
  • 应用：两状态系统的建模

二项随机变量#

  • 描述：nn次独立伯努利试验中成功的次数
  • 参数：nn（试验次数），pp（单次成功概率）
  • 分布列： pX(k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯ ,np_X(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,\cdots,n
  • 归一性验证：∑k=0n(nk)pk(1−p)n−k=1\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = 1

几何随机变量#

  • 描述：独立试验序列中直到第一次成功所需的试验次数
  • 分布列： pX(k)=(1−p)k−1p,k=1,2,⋯p_X(k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1,2,\cdots
  • 归一性验证：∑k=1∞(1−p)k−1p=1\sum\limits_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k-1}p = 1

泊松随机变量#

  • 描述：单位时间/空间内随机事件发生的次数
  • 参数：λ>0\lambda > 0（平均发生率）
  • 分布列： pX(k)=e−λλkk!,k=0,1,2,⋯p_X(k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, \quad k = 0,1,2,\cdots
  • 归一性验证：∑k=0∞e−λλkk!=1\sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = 1
  • 与二项分布关系：当n→∞n \to \infty，p→0p \to 0，np=λnp = \lambda时，二项分布近似于泊松分布
2.2 分布列
https://miku.nikonikoni.blog/posts/propability_theory/2-2-probability-mass-function/
Author
nikonikoni
Published at
2025-11-26
License
Unlicensed

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2.1 基本概念
2.3 随机变量的函数
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