期望的定义与解释#

• 定义：$E[X] = \sum\limits_{x} xp_X(x)$
• 物理解释：质量分布的重心
• 频率解释：大量重复试验的平均值

期望的存在性#

• 当$\sum\limits_{x} |x|p_X(x) < \infty$时，期望有确切定义
• 本书默认所涉随机变量的期望都有定义

方差的定义#

• 方差：$\text{var}(X) = E[(X - E[X])^2]$
• 标准差：$\sigma_X = \sqrt{\text{var}(X)}$

方差的计算方法#

1. 直接法：$\text{var}(X) = \sum\limits_{x} (x - E[X])^2 p_X(x)$
2. 矩表达法：$\text{var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

矩的定义#

• $n$阶矩：$E[X^n] = \sum\limits_{x} x^n p_X(x)$
• 均值就是一阶矩：$E[X]$

线性函数的性质#

对于$Y = aX + b$：

• 期望：$E[Y] = aE[X] + b$
• 方差：$\text{var}(Y) = a^2\text{var}(X)$

常见分布的均值和方差#

期望运算的注意事项#

• 一般情况下$E[g(X)] \neq g(E[X])$
• 反例：平均速度的倒数不等于平均时间的倒数