联合分布列的定义#

• $p_{X,Y}(x,y) = P(X = x, Y = y)$
• 描述两个随机变量同时取特定值的概率

边缘分布列#

• $p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X,Y}(x,y)$
• $p_Y(y) = \sum\limits_{x} p_{X,Y}(x,y)$
• 计算方法：表格的行和与列和

随机变量函数的期望#

• 一般函数：$E[g(X,Y)] = \sum\limits_{x} \sum\limits_{y} g(x,y)p_{X,Y}(x,y)$
• 线性函数：$E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c$

多个随机变量的推广#

• 三个随机变量：$p_{X,Y,Z}(x,y,z) = P(X = x, Y = y, Z = z)$
• 边缘分布：$p_{X,Y}(x,y) = \sum\limits_{z} p_{X,Y,Z}(x,y,z)$
• 线性函数期望：$E[aX + bY + cZ + d] = aE[X] + bE[Y] + cE[Z] + d$

一般线性组合#

对于$X_1, X_2, \cdots, X_n$和常数$a_1, a_2, \cdots, a_n$： $E\left[\sum_{i=1}^n a_iX_i\right] = \sum_{i=1}^n a_iE[X_i]$