给定事件的条件分布#

• $p_{X|A}(x) = P(X = x | A) = \dfrac{P(\{X=x\} \cap A)}{P(A)}$
• 满足分布列的性质：$\sum\limits_{x} p_{X|A}(x) = 1$

给定随机变量的条件分布#

• $p_{X|Y}(x|y) = P(X = x | Y = y) = \dfrac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}$
• 固定$y$时，$p_{X|Y}(x|y)$是$x$的合格分布列

定义#

• 给定事件：$E[X|A] = \sum\limits_{x} xp_{X|A}(x)$
• 给定随机变量：$E[X|Y=y] = \sum\limits_{x} xp_{X|Y}(x|y)$
• 随机变量函数：$E[g(X)|A] = \sum\limits_{x} g(x)p_{X|A}(x)$

全期望定理#

1. $E[X] = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i)E[X|A_i]$
2. $E[X|B] = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i|B)E[X|A_i \cap B]$
3. $E[X] = \sum\limits_{y} p_Y(y)E[X|Y=y]$

核心思想：无条件平均可以由条件平均再求平均得到