随机变量与事件的独立性#

• $X$独立于$A$当且仅当：$p_{X|A}(x) = p_X(x)$ 对所有$x$成立
• 等价条件：$P(X=x \text{ 和 } A) = p_X(x)P(A)$

随机变量间的独立性#

• $X$和$Y$独立当且仅当：$p_{X,Y}(x,y) = p_X(x)p_Y(y)$ 对所有$x,y$成立
• 等价条件：$p_{X|Y}(x|y) = p_X(x)$ 对所有$x$和$p_Y(y)>0$的$y$成立

条件独立性#

• 在给定事件$A$下，$X$和$Y$条件独立当且仅当： $p_{X,Y|A}(x,y) = p_{X|A}(x)p_{Y|A}(y)$
• 等价条件：$p_{X|Y,A}(x|y) = p_{X|A}(x)$

独立随机变量的重要性质#

多个随机变量的独立性#

• $X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立当且仅当： $p_{X_1,X_2,\cdots,X_n}(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^n p_{X_i}(x_i)$
• 独立随机变量的函数也独立

独立随机变量和的性质#

• 对于相互独立的$X_1, \cdots, X_n$： $\text{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \text{var}(X_i)$

应用实例#

独立性与条件独立性的关系#

• 独立性不蕴含条件独立性
• 条件独立性不蕴含独立性
• 两者是不同概念，互不包含