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3.1 连续随机变量和概率密度函数#

基本概念#

连续随机变量#

取值于连续区域的随机变量
概率规律由**概率密度函数(PDF)**描述

概率密度函数(PDF)#

对于随机变量 $X$ ，若存在非负函数 $f_X$ ，使得对任意实数轴上的集合 $B$ ： $P(X \in B) = \int_B f_X(x) dx$ 则 $X$ 称为连续随机变量， $f_X$ 称为其PDF。

PDF的性质#

非负性： $f_X(x) \geq 0$ 对所有 $x$ 成立
归一化条件： $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$
区间概率： $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) dx$
单点概率： $P(X = a) = 0$
局部近似：对于小 $\delta > 0$ ， $P([x, x+\delta]) \approx f_X(x) \cdot \delta$

期望与方差#

期望定义#

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$

期望规则#

对于函数 $g(X)$ ： $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) dx$

方差定义#

$\text{var}(X) = E[(X - E[X])^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 f_X(x) dx$

方差公式#

$\text{var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

线性变换#

若 $Y = aX + b$ ，则： $E[Y] = aE[X] + b, \quad \text{var}(Y) = a^2 \text{var}(X)$

特殊分布#

均匀随机变量#

PDF：

\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ **期望推导**： $$E[X] = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_a^b = \frac{a+b}{2}$$ **方差推导**： $$E[X^2] = \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$$ $$\text{var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(b-a)^2}{12}$$ ### 指数随机变量 **PDF**： $$f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ **期望推导（分部积分）**： $$E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda}$$ **方差推导**： $$E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx = \frac{2}{\lambda^2}$$ $$\text{var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$

3.1 连续随机变量和概率密度函数

https://miku.nikonikoni.blog/posts/propability_theory/3-1-probability-density-function/

Author

nikonikoni

Published at

2025-11-26

License

Unlicensed

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2.7 独立性

3.2 分布函数

The fallen leaves tell a story