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3.2 分布函数#

分布函数定义#

对于随机变量 $X$ ，其CDF定义为： $F_X(x) = P(X \leq x)$

单调非减：若 $x \leq y$ ，则 $F_X(x) \leq F_X(y)$
极限行为： $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$
离散随机变量： $F_X(x)$ 为阶梯函数
连续随机变量： $F_X(x)$ 为连续函数

$F_X(k) = \sum_{i=-\infty}^k p_X(i), \quad p_X(k) = F_X(k) - F_X(k-1)$

$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt, \quad f_X(x) = \frac{dF_X}{dx}(x) \quad (\text{在可微点})$

$F_{\text{geo}}(n) = 1 - (1-p)^n, \quad n = 1, 2, \dots$

\begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$ ### 两者关系推导 令$\delta = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda}$，则$e^{-\lambda \delta} = 1-p$ 在$x = n\delta$处： $$F_{\text{exp}}(n\delta) = 1 - e^{-\lambda n\delta} = 1 - (1-p)^n = F_{\text{geo}}(n)$$

3.2 分布函数

Author

nikonikoni

Published at

2025-11-26

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