联合PDF定义#

若存在联合PDF $f_{X,Y}(x,y)$，使得对任意平面集合$B$： $P((X,Y) \in B) = \iint_B f_{X,Y}(x,y) dx dy$

归一化条件#

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy = 1$

局部近似#

对于小$\delta > 0$： $P(a \leq X \leq a+\delta, c \leq Y \leq c+\delta) \approx f_{X,Y}(a,c) \cdot \delta^2$

边缘PDF定义#

• $X$的边缘PDF：$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy$
• $Y$的边缘PDF：$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx$

推导：从联合概率到边缘概率的积分转换。

联合CDF定义#

$F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s,t) ds dt$

与联合PDF的关系#

$f_{X,Y}(x,y) = \frac{\partial^2 F_{X,Y}}{\partial x \partial y}(x,y) \quad (\text{在连续点})$

函数期望#

对于函数$g(X,Y)$： $E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) f_{X,Y}(x,y) dx dy$

线性函数期望#

$E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c$

三个随机变量#

联合PDF为$f_{X,Y,Z}(x,y,z)$，边缘PDF通过积分得到。

期望规则推广#

$E[g(X,Y,Z)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y,z) f_{X,Y,Z}(x,y,z) dx dy dz$