连续随机变量的贝叶斯公式#

$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_X(x) f_{Y|X}(y|x)}{f_Y(y)} = \frac{f_X(x) f_{Y|X}(y|x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) f_{Y|X}(y|t) dt}$

推导： 从乘法规则：$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_{Y|X}(y|x) = f_Y(y) f_{X|Y}(x|y)$ 因此：$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_X(x) f_{Y|X}(y|x)}{f_Y(y)}$

离散随机变量的贝叶斯公式#

对于离散随机变量$N$和连续随机变量$Y$： $P(N=n|Y=y) = \frac{p_N(n) f_{Y|N}(y|n)}{f_Y(y)} = \frac{p_N(n) f_{Y|N}(y|n)}{\sum_i p_N(i) f_{Y|N}(y|i)}$

事件的条件概率#

对于事件$A$： $P(A|Y=y) = \frac{P(A) f_{Y|A}(y)}{P(A) f_{Y|A}(y) + P(A^c) f_{Y|A^c}(y)}$

反解公式#

$f_{Y|A}(y) = \frac{f_Y(y) P(A|Y=y)}{P(A)} = \frac{f_Y(y) P(A|Y=y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(t) P(A|Y=t) dt}$